Куда движется математика? #253543

На протяжении большей части XX столетия в «чистой» математике царило замечательное единодушие относительно того, как нужно представлять результаты. Весь предмет сводился к комплексу теорем, каждая из которых, в конечном счете, выводилась из фиксированного набора аксиом путем так называемого строгого логического доказательства. В отдельных разделах математики, таких, например, как арифметика Пеано, справедливость аксиоматики выглядела самоочевидной, однако во многих случаях аксиомы попросту очерчивали рассматриваемую область вопросов. Для математиков, если только они не выходили за рамки математики, выступая в роли философов-любителей, принципиального различия между изобретением и открытием новых концепций не было. В настоящей статье мы постараемся обоснованно показать, что последовательное развитие классических древнегреческих взглядов на математику неадекватно отражает современные тенденции в этой науке. Да, на протяжении веков они приносили заметный успех, однако три кризиса, разразившиеся в ХХ веке, заставляют нас пересмотреть статус лавинообразно нарастающих объемов современных математических изысканий.    * Введение    * Доказательства с использованием компьютера    * Формальная проверка доказательств    * Простые конечные группы    * Непротиворечивость арифметики    * Обсуждение    * Ссылки

Хе, хе... Решили тож бабла срубить с государства

"три кризиса, разразившиеся в ХХ веке" - это про что??? "Доказательства с использованием компьютера" - это не доказательство, а показательство. Хотя, если компьютер использовать на уровне 2+3=5... ЗЫ: по ссылке не ходил :))

Учи тему "искусственный интеллект". Такие средства есть, правда, есть и недоказуемые такими средствами теоремы :) А по теме --- блин, прикольно, если правда. Мне же пока не хватает знаний оценить правдоподобность...

Будущее математики, думаю, в записи доказательства на формальном языке, который понимает компьютер, т.е. способен будет в рамках заданной системы аксиом проверить непротиворечивость доказательства. Вот так) З.Ы. А вот задача о проверки непротиворечивости самой системы аксиом, увы, неразрешима. Печально, но из этого следует, что истинности в математике нет.

Чего-то отдает исчислением высказываний. И в чем изюм? Зачем записыватьи доказывать то, что уже записано и доказано? Будущее математики за асимптотическими методами. Вот тут и компьютеру место найдется. С ЗЫ не согласна.

странно, всегда имел пятерку по математики. но как то флудить на тему математики не хочется.. вроде точная наука была )

Математика - наука эксперементальная (С)Гузев

Разве в каждой твоей фразе есть "изьюм"? Если бы прочитала всю сцылку до конца, то такого бы не говорила. Речь идет о проблеме проверки корректности доказательства, когда в силу органиченности человеческого интеллекта его просто невозможно осознать ни одному человеку. Насколько я могу позволить представить себе состояние данной области - задача проверки корректности доказательства автоматически в общем виде еще не решена, и навряд ли будет в ближайшем будущем.

+ По поводу ЗЫ. Докажи строго, что система аксиом евклидовой геометрии внутренне не противоречива.

Никогда не понимал зачем программистов учат математике в универах... наверное преподов пристроить некуда...

Увы, читать ссылки не дает прокся. На изюм в каждой фразе не претендую. Корректность доказательства обуславливается использованием аксиом и уже доказанных утверждений в рамках их границ применимости. Этого достаточно. Система аксиои является базисом. Базис непротиворечив по определению. Т. е. противоречивый базис - не базис вовсе.

Продолжая тему, определив противоречия в аксиоматике евклидова пространства, получим неевклидово пространство с совсем другой топологией...

адинэснигам вообще нельзя учица... им это вредно... потому как дятел с понтами - хуже дятла не грамотного...

Противоречивость системы аксиом если не невозможно, то по крайне мере трудно доказать, равно как и ее непротиворечивость. Изменяя любой элемент системы аксиом, получаем другую систему аксиом, вполне имеющую право на существование. Из формулировки гипотезы Пуанкаре, доказанной Перельманом, я не понял ровно ничего. Людей, способных понять это доказательство, не так уж и много в мире. И я так понимаю, сложность доказательств растет, возможно даже неполиномиально. Если не прав, то поправь меня.

+ "Базис непротиворечив по определению" - вот корень проблем.

Спасибо волшебнику, за то, что поместил эту ссылку.

Да, очень инетересно было прочесть, хотя есть часть непонятного в силу необразованности.

не гоняйтесь за математикой, фиг догонишь, и зачем? П.С. никогда не ходите по ссылкам, еще неизвестно, куда они приведут.

Вот и договорились. Хотя с противоречивостью, пожалуй, проще. Можно обойтись контр-примером. Если он найдется... Очень хочу видеть эту гипотезу. Дайте посмотреть, пожалуйста:) Кроме прочего, теоретическая математика потеряла актуальность. Прикладные области значительно важнее. В чистой теории нашим современникам открыть что-нибудь действительно стоящее едва ли удастся. А вот в прикладных задачах есть место для великих открытий! Я тоже хочу почитать статью. Дайте как-нить.

Пля! А где упоминание Чебышева,Шарковского? Первый показал,что любая сколько нибудь сложная аксиоматическая теория-противоречива... а по поводу неприводимых алгоритмов,где Шарковский?! Его работы были выполнены в первой половине 60-х!!

+20 Извините.

"Движенья нет" - сказал мудрец брадатый Другой смолчал, и стал пред ним ходить.

+21 ИМХО:в общем считаю,что как только было доказано что существуют неприводимые алгоритмы и это утв. не было опровергнуто,то кризис "математики" и не прекращался. Ибо по сути таким образом была установлена верхняя планка развития математики, ограничение. Не может совр. мат.наук пробороть эту проблему, которая тесно связана со сложными системами(в том числе и научными), ну и логично предположить-надо менять парадигму мат.мышления,но как? Неизвестно. :) Можно только опять же,гадать. То есть где то мы оказались в положении математики времен римской империи с ее "римскими" числами:I,II,III,......числа(объекты) есть а как ими манипулировать-непонятно,невозможно при принятой системе счисления. Понятно,это аналогия,но...если заменить "римские числа",сложными объектами,то окажемся примерно в той же ситуации. ИМХО.

+1 Мне кажется эта проблема встала не только в математике...

ну это да,потому что все прикладные решения всеж базируются на фундаментальных началах.

Кстати, забавная мстория вспомнилась. Один очень уважаемый профессор как-то сказал, что основное заблуждение биологов в том, что уверены в точности своих расчетов. Математики же умеют считать погрешности:) Это к вопросу о "точной науке"...

:)

В качестве примера,рассмотрим аналогию с римск.числами, невозможно,например ФОРМАЛЬНО выполнить операцию :V+X=XV, ее можно выполнить только "численно",использую какое нить подобие абакуса,то есть мы получаем "численное" решение. :) или: можно задать работу логической схемы,описать его алгоритм, но! Будет невозможно получить состояние этой системы в произвольной временной точке T,аналитически невозможно,состояние системы можно будет узнать,ТОЛЬКО начав отслеживать эволюцию с t=0,1,2,...T. И это принципиальное отличие,скажем от системы описываемой дифф.ур-ом(ми),где мы можем отследить состояние(значение) системы при любом произвольно заданном аргументе(в данном случае T), нам не НУЖНО будет проходить все T-i.

+37 то есть решения можно получить ТОЛЬКО численно,проводя так наз. "вычислительный эксперимент"

Вообще, мне максимум пригодилась тока математика 7-го класса на практике, когда занимался трехмерной графикой... смешные научные работники используют для этого аналитическую геометрию :)) видать не знают геометрического смысла векторных операций из школьного курса... а так - обычно хватает 2-4-й класс.

жаль

Вообще-то в 3D принято все на матрицах делать.

математика крайне сложна... а современная математика... это абстракция абстракции... или абстракция абстракций...