Раскраска окружности #448044

Окружность, раскрашенная в 2 цвета — красный и синий. Верно ли, что независимо от того, как именно она раскрашена, в нее всегда можно вписать РАВНОБЕДРЕННЫЙ треугольник так, что его вершины будут одного цвета.

вряд ли...

верно

нужно как бы обоснование

неа на красной окружности одна точка синия

так там море "красных" треугольников

если бы помнил школьный курс - доказал бы. но смысл такой - окружность разделена хордой. а из центра хорды - можно провести два отрезка до края окружности одинаковой длины. как-то так

мой ответ не приняли «возьмем непрерывный участок окружности одного цвета, проведем секущую немного не доходя до границ изменения цвета. через центр отрезка, образованного пересечением секущей и окружности проводим перпендикуляр. получаем на окружности 3 точки, лежащие в одном непрерывном одноцветном куске, которые при соединении образуют равнобедренный треугольник.»

"до края окружности" про край окружности ты мощно задвинул, по-челябински

От противного. Красим ровно пополам. Усе. Вписать невозможно.

обоснование неверности такого обоснования - Функция Дирихле определяется так: D(x)=1, если x рациональное, и D(x)=0, если x иррациональное. Функция обладает тем замечательным (для построения разных контрпримеров) свойством, что она разрывна в каждой точке. таким образом если взять функцию дирихле от угла, и обозначить 1 за красную точку, а 0 за синюю, то будет куча точек

"возьмем непрерывный участок окружности одного цвета" а они есть эти непрерывные участки?

ндя точно

можно, он же не равносторонний, а всего лишь равнобедренный

в чисто физическом смысле - без них невозможно. а так: см.

:) как мог. еще можно параллельно провести вторую хорду. центр первой хорды и точки пересечения второй хорды и окружности - будут вершинами равнобедренного треугольника запросто можно по крайней мере в челябиснке.

не катит, берем точку с углом 0: D=1 берем рац. угол х и -х D(x)=D(-x)-1 - равнобедренный

блин вот я тупенью я не правильно задачу прочитал

да-да

функция дирихле - для примера

в плохая редиска все решение спалил

А, пардон, прочитал как "равносторонний"...

думать не хотелось, поиском решил)

Вот посложнее: плоскость раскрашена в 3 цвета - как угодно, просто каждая точка плоскости имеет один из 3 цветов. Всегда ли есть 2 точки одного цвета, расстояние между которыми ровно 1 метр?

+ это опять баян

Гениально простое решение по принципу Дирихле: Правильный 5-угольник вписываем в окружность, не глядя на цвета. Потом смотрим, какой угол куда попал. Т.к. цветов всего два, то как минимум 3 угла окажутся одного цвета. А через 3 угла прав. 5-угольника всегда можно провести равнобедренный 3-уг-к.

- настоящий программист думет гуглом

А размер "точки" и точность измерения "метра" роли не играют? В метре сколько точек?

фигню сморозил конечно же... ведь между точками не обязательно должны быть другие цвета

а точка имеет размер?

баян, была такая задачка в школе на олимпиаде)

<<возьмем непрерывный участок окружности одного цвета...>> - и впишем в него равнобедренный треугольник =)))

и эта тоже была, как щас помню: рисуем на плоскости окружность единичного радиуса...

ну да... а вот если непрерывных участков нету - тогда интереснее

Задачу можно сформулировать по другому Задача: есть угол f и функция c(f) -> {красный,синий}, f>=0 и f<2*Pi определяем условие равнобедренного треугольника f3=(2*Pi+f1-f2)/2+f1 Накладываем требование на функцию с(а) с(f3)<>c(f1)=c(f2) Нужно доказать или опровергнуть существование такой функции

+ Уточнение: Нужно доказать, что для всех фукнций с(f) существуют f1, f2 такие, что с((2*Pi+f1-f2)/2+f1)<>c(f1)=c(f2)

(35,36) к

Очень красивое решение!

Матан изучал? или функан или диффуры?

Можно. Допустим у нас имеется окружность из 2 областей разного цвета. Тогда можно нарисовать триуголник вершины которого будут находиться на обной области. Теперь допустим что области чередуются, их размер стремиться к нулю. Тогда с легкостью можно нарисовать треугольник равнобедренный углы которого будут лежать на трех областях одного цвета которые расположены наиболее близко друг к другу. Теперь рассмотрим пример когда такие области не чередуются,т.е. у нас получатся области последовательно состоящие из нескольких областей одного цвета. НО! любую область всегда можно разделить на любое количество отдельных областей равного размера. Т.е. получаем из однойобласти одного цвета три рядом лежащие области одного цвета и на них распологаем вершины равнобедренного треугольника.

>>Тогда с легкостью можно нарисовать треугольник равнобедренный углы которого будут лежать на трех областях одного цвета которые расположены наиболее близко друг к другу Это не доказательство, а мысли вслух

Знакомые подходы? ;) Все из этого и многое другое :). Например векторный и тензорный анализ давали на первом курсе :))

Доказательства бывают разные. Вспомни школу и как доказывается теорема о том что к прямой в одной точке можно провести только один перпендикуляр. И вообще все доказательство можно свести к тому, что любую область одного цвета можно разделить на несколько областей одного цвета лежащих рядом. На них строить треуголльник. Ведь в условии не сказано что между вершинами треугольника должны быть области другого цвета. Я надеюсь, что оспаривать возможность построения равнобедтренного треугольника с основание хорда и вершиной лежащей на середине дуги одного цвета, никто не будет? Доказательства могут быт различными. Это аналитическое. Могу привести графическое, могу алгебраическое (линейные уравнения), могу через векторы. Но суть сведется как раз к тому что выше сказано.

ты просто вводишь понятие области одного цвета, но таких областей может не быть, вообще

Как это может не быть? В условии сказано что окружность раскрашена в 2 цвета. Про то, что окружность построена в дискретной плоскости ничего не сказано. Про придельные величины сказано в Они либо последовательно лежать КСКСКС... либо это не предельные величины. А любой отрезок всегда можно разделить по палам. :-)

ты можешь себе представить отрезок, все рациональные точки которого покрашены в 1 цвет, а иррациональные в другой?

А что тогда мне мешает провести треугольник через точки -1, 0, 1?

это не к задаче, это просто о том, что областей может не быть

Можно по другому выразить условие на функцию с(f). Построить такое неравенство: с<>c(f)=c(-f), f>0, f<Pi Тогда доказательство становится тривиальным В можно построить такую функцию с, что как бы ни вращать правильный пятиугольник (да и вообще целый класс многоугольников), все углы будут одного цвета.

введенная функция c(f) ни дает ничего нового

Я по другому сформировал неравенство. Потом можно воспользоваться ее симметрией относительно f, или не симметрией. И получается если окружность не монотонно одного цвета, в нее можно будет вписать равнобедренный треугольник.

То школьное доказательство - это НАСТОЯЩЕЕ доказательство

К опровержению Можно еще более сложную функцию Дирихле взять: 0 - если аргумент трансцендентный 1 - если не транцендентный

все таки я загнался :(