Кривая второй степени #619428

Кривая второй степени задается уравнением A*X^2+B*X*Y+C*Y^2+D*X+E*Y+F=0, где все коэффициенты рациональны Есть ли алгоритм (или формула) который отвечает на вопрос есть ли рациональные точки (точки с рациональными координатами) на этой кривой? Ну и желательно алгоритм нахождения хотя бы одной такой точки

если кто не понял условия, пишите

у алгоритма на входе коэффициенты?

да

>рациональные точки Хотя бы одна всегда будет :) Или ты имел в виде действительные??

рациональные всегда действительные, почему хотя бы одна будет?

Мысль вслух - кривая второго порядка имеет либо 0, либо бесконечное множество рациональных точек. Следующая мысль вслух - привести уравнение к каноническому виду. (Это не решение, это так, первое, что на ум пришло).

насчет числа точек - это верно (ну кроме вырожденных случаев, но они не интересны)

Если не брать вырожденный эллипс, то рациональные всегда будут. Кривая не может состоять только из иррациональных точек

Это откуда такое откровение?

X^2+Y^2=3 найди рациональные точки

Да, похоже я погорячился) Но всё равно что-то мне подсказывает, что у гладкой кривой бесконечное множество рациональных точек

Насчёт канонического вида - тут да, глупость я сморозил :-(

+ Следующая дурацкая идея - китайская теорема об остатках.

а как она поможет?

Был не прав) Это иррациональных на ней будет континуум..

Это задача имеет практическое значение или как сферический онь в вакууме?

Думал, может с коэффициентами поиграться...

Лень все решать, но вообщем заменой вида R=G*X+E*Y где G и E рациональны, а значит и R рационально. Так же наоборот. Такой хаменой сводим уравнение к квадратному A*R^2+B*R+C=0 И дальше наличие рациональногь корня сводится к существованию раионального дискриминанта. Затем очевидно, что раз R рационально, то и любые X Y что R=G*X+E*Y то же рациональны.

ловко ты сразу от двух переменных избавился

в 1С неприменимо

это решаемая задача. Надо всего лишь немного подумать, вывести формулу и все. В рамках математики на поле действительных чисел она разрешима.

может быть в 1с это и не имеет никакой применимости, но что решения этой задачи необходим всего лишь математический аппарат, а точнее извлечение квадратного корня.

R^2 = G^2 * X^2 + ...   G = sqrt(A), так почему мы полагаем G и E рациональными?

sqrt=2... Так почему мы полагаем 2 - рациональным числом :-)

я имел ввиду, что они далеко не всегда будут рациональны

Разумеется, не всегда. Но вопрос в так и стоит - "когда?".

Там немного другое не такое соотношение получится, что то типа A=куча всякой и фигни и в частности sqrtG E A у нас рационально по условию, казалос б и всякая фигня будет рациональна, тут скользки момент Ну то есть кореь из рационального не всегда рационален, но если мы извлекаем корень из чего то и получили рациональное, то и то из чего извлекали рационально

да и не любое уравнение можно свести к виду A*R^2+B*R+C=0, так что сведение к такому виду с рациональными коэффициэнтами - очень частный случай

даже больше - практически никакое, только параболы

можно упростить формулу в линейным переносом центра координат на рациональные величины до AXX+BXY+CYY+D=0 c рациональными коэффициентами далее, проверить есть ли рац. точка при Y=0 (просто - квадрат ли -D/А) далее, поскольку Y=рациональное, можно обозначить X/Y=1/R получим XX(A+RB+RRC)=-D RRC+RB+(A+D/XX)=0 отсюда уже дискриминант должен быть квадратом рационального как-то так...

интересно, как ты себе этот перенос представляешь?

перенос нормально-то вот дальше непонятно

неа, не нормально, получается динамический центр.

какой еще динамический центр?

почему ненормально?

решается просто. A*X^2+B*X*Y+C*Y^2+D*X+E*Y+F=0 сначала решаете это относительно одной переменной, то есть представляя, что х - переменная, а остальное параметры. первое преобразование: A*X^2 + X*(B*Y+D) + C*Y^2 + E*Y + F = 0 вычисляем дискриминант: D = (B*Y+D)^2 - 4*A*(C*Y^2+E*Y+F) вспоминаем, что дискриминант больше или равен нулю и получаем неравенство (B*Y+D)^2 - 4*A*(C*Y^2+E*Y+F) >= 0 решаем его, получаем отрезок решений для Y, а потом уже и промежуток решений для X.

вы немножко получше прочитайте то что тут, и то, что там.

угадал?

ну а где решение то? ну даже проще, найдите по вашему алгоритму решение для X^2+Y^2=Z, где Z параметр, можно для Z=3, для начала

зачем сюда эту дамочку?

это богиня фиксина

см. название топика

решение дискриминанта уже ответ на возможность существования решения. Если дескриминант не имеет решений на поле действительных чисел, тогда и получается невозможность существования решений вообще

ее уже весь рунет узнает походу богатая у тебя фантазия

я тебе предложил конкретно решить пример в этим методом

это не фантазия, это ассоциация %)

хорошо. x^2 + y^2 = 3 x^2 + y^2 - 3 = 0 D = 0^2 - 4*(y^2 - 3) = 12 -4 * y^2 D >= 0 12 - 4*y^2 >= 0 3 >= y^2 y^2 <= 3 y1=sqrt y2=-sqrt есть наше решение будет лежать на промежутке от -3 до 3 возвращаемся назад: x1= sqrt(12-4*y^2)/2 x2= -sqrt(12-4*y^2)/2 все возможные решения будут равны выше, и при это y может меняться только от -3 до 3. все. это устроит?

где хоть одно решение то? бред какой то.

нет, решение есть или нет?

там только опечатка, не от -3 и до 3, а от -sqrt и до sqrt. а решений будет целая куча. если быть точным, то окружность с радиусом sqrt и центром в начале координат.

и как это решает вопрос о целочисленных решениях?

ну хотя бы одно приведи

вы определитесь над каким полем: действительных или целых чисел?

в задаче требовалось в поле рациональных чисел, а "поля целых чисел" вообще не существует как понятия

вообще-то существует. но если четко необходимо на поле рациональных чисел, то тогда необходимо условие, чтобы решение квадратного неравенства было рационально - вот и все.

1. вообще то нет, это я тебе как математик заявляю 2. ну так что с примером, решение будет?

1. как математик - заявляю - существует - поле целых чисел это поле натуральных чисел, ноль и поле натуральных чисел отображенное симметрично относительно нуля. в предмете числовые системы такое чудо разбирается. 2. так как единственный вариант решения y^2 <= 3 в поле рациональных чисел это 1, то получаем, что 12 - 4*y^2 = 8, а sqrt в поле рациональных чисел не существует - вот ответ, с корректировкой на поле рациональных чисел, значит не имеет.

целые числа - это не поле, а кольцо

y^2 <= 3 имеет множество решений в рациональных числах: 0.1, 0.2, 0.3 и тд

1. только это не поле, это кольцо, коммутативное, целостное, но не поле )) 2. >> так как единственный вариант решения y^2 <= 3 в поле рациональных чисел это 1 рациональных чисел там гораздо-гораздо больше )) вы опять с целыми путаете

дальше уменьшение количества переменных до одной конкретно, XX+YY-3=0 XX(1+RR)=3 1+RR=3/XX RR=3/XX-1 то есть, перешли к проверке является ли 3/Х^2-1 полным квадратом для рационального X дальше уже общего решения ЕМНИП нет

1. вот тут может и соглашусь, так как не помню этого момента. 2. согласен - опять путаю. тогда надо подумать над выходом из этого момента.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

Задача о существовании хотя бы одной рациональной точки на кривой второй степени оказалась очень трудной. Первые нетривиальные продвижения в ее решении получили индийские математики Брахмагупта (VII век) и Бхаскара (XII век), а окончательный ответ был найден лишь в 1768 году французским математиком Ж.-Л. Лагранжем (1736-1813).

Это ты решил местного Перельмана найти???

эх ты ))

ты бы еще теорему ферма попросил доказать

по названию темы ветки угадай ее автора :D

ну это было палевно

интересны не очень сложные но не тривиальные (олимпиадные) задачки

да... базу надо подтягивать...