Точки на окружности #520416

На окружности отмечено 2010 точек, разделяющих ее на 2010 дуг, из которых третья часть имеют длину 1, еще треть - длину 2, а оставшиеся - длину 3. Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально противоположные.

Подсказка: Как вариант, это будет проще доказать, "развернув" окружность до отрезка и "примеряя" отрезок в половину длины исходного (бывш. диаметр).

У нас как-то на физ-мат кружке была похожая задача: Дана планета (сфера), не меньше половины поверхности которой покрыто сушей. Доказать, что при любом расположении суши можно-таки пробурить тоннель через центр, соединяющий сушу с сушей.

ну эта задача решается рассмотрением полусферы и ей противоположной с отображением центральная симметрия

в общем не совсем похожая задача

А че тут доказывать: развернем в отрезок, первая и вторая треть будут такой же длины как третья треть, то есть граничная точка между второй и третьей третью будет серединой отрезка, ну или диаметральной противоположностью начала отсчета.

непонятно

670 * 1 + 670 * 2 == 670 * 3 670 - третья часть от 2010

и? давай распиши полностью

и кто сказал, что они идут в таком порядке?

Так я практически все расписал: Развернем окружность в отрезок и потому задача сводится к доказательству что одна из точек делит отрезок по полам. Ну а это доказательство что есть два одинаковых отрезка и искомая точка находится на границе 2 и 3 трети дуг (ну или в данном случае уже отрезков).

а кто сказал что не в таком )))

по вашему Вы взяли произвольную отмеченную точку, развернули и получилось, что именно для нее есть диаметрально противоположная, но поверьте, не для любой отмеченной это верно

скажем так, Вы решили частный случай, очень частный

развод в том, что 2010 на 3 не делится

;)

умник, учи арифметику

ой!

молодец)))

на самом деле "Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально противоположные" ни как не говорит о их расположении, интереснее было бы посчитать количество вариантов расположения для данного доказательства.

обычно такие задачи решаются в общем случае те кто это не понимают скорее имеют гуманитарный склад ума по поводу вариантов посчитай:

+ а вообще очень даже похоже, был не прав

не глядя в посты. Нужно доказать что существует хотя бы одна дуга длинной в пол окружности, т.е. в угловой величины в 180 градусов.

ну да, разве стало проще?

честно не вижу смысла задавать тут такие задачи. они не решабельны в условиях работы, сидя за компом. Проще надо быть )

+ ко всему еще используют какую нибудь мало известную широкому кругу теорему

нет тут никаких теорем пока

x1*670*1 + y1*670*2 + z1*670*3 = x2*670*1 + y2*670*2 + z2*670*3 x1*670*1 + y1*670*2 + z1*670*3 - x2*670*1 - y2*670*2 - z2*670*3 = 0 670(x1 + y1*2 + z1 * 3 - x2 - y2*2 - x2 * 2) = 0 x1 + y1*2 + z1*3 - x2 - y2*2 - z2*3 = 0 x1+x2=670 y1+y2=670 z1+z2=670 Какую бы хрень еще написать

, Да нет... , небось, читает и хихикает - решил уже давно, наверное... ;-))) 2 + 2 = 4

x1 + y1*2 + z1*3 - 670-x1 - (670-y1)*2 - (670 - z1)*3 = 0

теперь докажи, что всегда есть решение в целых цислах

ну или что-то подобное, все перепуталось в голове, нужно спокйоно разобрать

x1 + y1*2 + z1*3 - 670-x1 - 1340 - 2y1 - 2010 - 3z1 = 0 x1 + 2y1 + 3z1 - x1 - 2y1 - 3y1 = 1340 + 2010 + 670 x1 + 2y1 + 3z1 - x1 - 2y1 - 3y1 = 4020 0=4020, все пипец - апокалипсис :)

ты пытаешься найти решение, а надо доказать, что оно есть

определение делится ли число на 3 есть в учебнике за 5-ый класс)

может не делить середина это 2010: например идут дуги(отрезки): 670*2(1340)+669*1 а потом дуга 3 и всё середина перескочена

решайте от противного))

допустим таких точек нет)

тогда как бы не быбрать дуги(отрезки если развернуть) мы не получим двух равных, доказать обратное

Расставим на окружности 4020 ячеек на одинаковом расстоянии. Теперь начнем расставлять 2010 точек следующим образом. В одной точке только одна ячейка, при этом противоположная ячейка занимается автоматически. При таких условиях, 2010 точек займут все 4020 ячеек(т.к. каждая точка знаимет свою и ту которая напротив) Но так как у нас по условию задачи имеются незанятые ячейки, то 4020 ячеек не хватит на 2010 точек, следовательно возникнет ситуация когда одну ячейку займут две точки. Мы доказали более сильное утверждение, достаточно стобы было 2009 дуг равных 1 и одной дуги равной 2, чтобы получились противоположно лежащие точки

как вариант доказать, что на отрезке найдется кусок равный его половине.

Считаем, что посредине дуги 2 находится одна белая точка, в дуге длины 3 - две белых точки на расстоянии 1. Заметим, что подряд две дуги длиной 1 идти не могут, поскольку на противоположной стороне окружности не встретится подряд 3 точки белого цвета. Т.е. единственное возможное расположение дуг: 1 за ней 2 или 31 за ней 2 или 3 и т.д. Т.е. между дугами длины 1 вставлена ровно одна дуга 2 или 3 Также заметим, что напротив (диаметрально) длины дуги 1 лежит дуга 3. Поскольку дуги чередуются, найдется дуга 1, за которой идет дуга 2 диаметроально напротив дуги 1 лежит дуга 3, по обе стороны от которой лежит дуга 1 - противоречие (но тут лучше нарисовать для наглядности)

если 2009 дуг равны 1 и одна дуга равна 2 то ничего ты не получишь) если больше ничего нет) 2009 дуг это без одного половина окружности, конечно любая другая точка будет диаметрально прпотивоположной) ты чушь какую то доказал)

первую часть не читай)) про если 2009 дуг равны 1 и одна дуга равна 2 то ничего ты не получишь) если больше ничего нет)

"т.е. между дугами длины 1 вставлена ровно одна дуга 2 или 3" а почему собственно только одна?

да, ошибся

в общем идея такова, как бы мы не делили окружность пополам через любую точку она будет делить либо дугу 3 либо дугу 2 (иначе будет диаметрально противоположная точка) если если любое деление через любую точку делит либо дугу 2 либо дугу 3 тогда сумма этих дуг должна быть 2010 но по условию их только 1340 то получаем противоречие, значит нет такого расположение когда деление окружности пополам не попадет в дугу 1. Что-то в этом роде

даже можно сказать что пар точек, диаметрально противоположных - 670

просто и гениально.

нет я ошибся))) можно 2 раза попадать в одну и ту же дугу))) понял косяк)

не так ) допустим пусть мы поделили все 670 дуг 3(по максимальному 2 раза) = 1340 раз, значит 2010 - 1340 = 670 поделили оставшиеся 2 дуг, но у нас по условию присутствуют ещё 670 дуг 1. противоречие.

хотя из 50 тоже можно сделать вывод что таких пар точек 670

Несколько сумбурно, но будем вырезать из окружности диаметрально противополжные дуги напротив 1 и 3 - схлопывая окружность. После каждого схлопывания дуг длины 1 и 3 будет на 1 меньше, а дуг длины 2 на единицу больше. Диаметральность точек при этом сохраняется. Убрав все дуги длины 3 и 1 В итоге получится окружность из 1340 дуг длины 1, конец каждй из которой белого и черного цвета, но тогда получится что диаметрально напротив друг-друга лежат точки одного цвета.

Если таких точек нет, то напротив единичной дуги должна всегда лежать тройная дуга, так, что диаметры из концов единичной дуги попадали внутрь тройной. Тогда оставшееся место будут занимать двойные дуги друг напротив друга. Так что любой диаметр из концов двойной дуги попадет в концы дуги напротив.

Задача из это классический принцип дирихле. В чутка сложнее

Представим отрезки на окружности в виде последовательности чисел соотв. длинам: 1, 2, 1, 3, 2, .... 3 Возможность найти противоположные точки это возможность поделить этот ряд чисел на три последовательные части А, В, С так, чтобы суммы чисел в них удовлетворяли равенству: А = B + C (или в любых вариациях, например B = A + C)   А дальше мне некогда доказывать, работать надо(

+ Или можно сказать так: Достаточно доказать что всегда можно выделить из всей последовательности часть сумма которых равна 1005.

тут надо доказать не то, что можно расположить точки так, что будут две противоположных, а то, что при любом расположении точек найдутся две противоположные. это разные вещи. первое - очевидно, второе - не очень

надо доказать, что из посл-ти таких чисел всегда можно выделить непрерывную посл-ть, сумма которой = 1005

доказывать нужно от противного

+ ой, пардон, = 2010

есть конкретные идеи?

задача на четность

можно взять 2010, а любое 3х

не 2010

а перестановки тут никак не завязаны?

Если внимательно прочитать, то там это и имеется ввиду.

Да общий случай 3k, тут k=670 Предположим что это не так, тогда напротив отмеченной точки должны быть неотмеченная. Пройдем круг по часовой стрелки и пометим середины единичных отрезков, в которых мы переходим: красным цветом если переходим от отмеченной к неотмеченной синим если переходим от неотмеченной к отмеченной Очевидно всё множество красно-синих точек будет центрально симметричным, причем напротив красной точки стоит синяя и наоборот. Кроме того цвет соседних точек постоянно меняется, то есть если их по порядку перенумеровать, то точки одного цвета эта точки одной четности и наоборот. Сколько всего таких точек? такие точки образуются в изначальных дугах длины 2 и 3, то есть имеем 2k красных и столько же синих, всего 4k Для центрально симметричной фигуры для точки с номером 1 ей противоположная (симметричная) будет 2k+1, то есть той же четности а значит одинакового цвета. Противоречие

Что то мне показалось неочевидным, что для точки с номером 1 ей противоположная (симметричная) будет 2k+1. Можно тут раскрыть поподробнее?

а... понял, действительно, т.к. для каждой цветной точки есть противоположная, то нумерация будет при обходе по часовой стрелке 1-я точка, 2k-1 каких-то точек, (2k+1)-я точка,(2k-1) каких то противоположных точек, 1 -я точка. Четность действительно не совпадает, ну что ж, браво!