Сумма равна произведению #464125

Найти все пары натуральных чисел (m, n), для которых выполняется условие: 1 + 2 + ... + m = 1 * 2 * ... * n

Зачем? :)

за углом вот сколько ты таких пар можешь привести?

m=n=3

хороший пример, еще есть m=n=1 Какие еще есть варианты? например, когда m<>n

Крута! Что ни пост, то шедевр! Тут не условие, а равенство!!!!

а равенство уже условием быть не может?

15 5

это задача эсвивалента m*(m+1)/2=n!

считал или программу написал?

уже прогресс

m^2 + m  = 2 * n! Берем любое n, и решаем это уравнение относительно m. D = 1 + 8 * n! То есть если 1 + 8 * n! - квадрат целого числа - значит, m = (sqrt(1 + 8 * n!) - 1) / 2 Перебирайте n.

Нет. Будем дискутировать?!

но ее нужно решать не перебором а через квадратное уравнение через n! искать соответствующие m (как корни квадратного уравнения)

перевожу на математику: найти все такие натуральные (n,m), для которых n(n+1)/2 = m! берем таблицу факториалов и решаем уравнение в целых. делов то

проходите далее так мы не получим общего решения, мы же не можем предоставить бесконечную таблицу

ух - сильно! Вот перевод попроще: х^2 - 2х = 0

+ блин - опять условие недочитал (

че?!

раз найти все пары значит нужно найти решение в общем виде. или показать что число решений ограничено и привести их так?

так

- не обращай внимания - торможу. Неделя запарная была ).

т.е. ты предполагаешь, что существуют N,M, такие, что для любых n>N и m>M равенство выполнятся не будет?

скорее всего так и есть, но это гипотеза

Хм, а для множества всех простых чисел ты тоже можешь дать общее решение? Для начала надо доказать, что возможно найти ВСЕ пары, то есть что решение ограничено. Если решение не ограничено, не факт, что найдется общее решение Общей формулы факториала кстати тоже нет.

что ты имеешь ввиду под [Общей формулы факториала]?

+ вот я тоже не понял

для простых чисел есть хотя бы аппроксимация их количества

Вычислить n!, не перемножая всю последовательность. Есть только приблизительная формула Стирлинга вроде-бы.

У мну есть зацепка. Щас поделюсь как оформлю.

значит так, пока понятно, что m - всегда нечетное

То есть по сути задача свелась к такой: найти все n, для которых 1 + 8n! - квадрат целого числа. Не думаю, что есть общее решение.

Я думаю, что больше нельзя найти чисел кроме (1,1)(3,3)(5,15). Щас скажу почему

почему?

если верить 27 147572825753377 = 1.08888694504184e+028

чего?

n=27 m=147572825753377

Это скорее всего ошибки в округлении кулькулятора.

ты где-то ошибся

потому что... хотя может и нет

да, ошибся на округлениях

А где зацепка?

Даже так m или m+1 должно делиться на 4

Даже так m или m+1 должно делиться на 4

Никак не превратится в нормальную теорию. допустим X = m; Y = m+1; Смысел в том что X и Y делят между собой множители по порядку 2* 1*2*3*4*5... . двойка впереди это которая перед факториалом. Для найденных случаев: (1,1) X = 1, Y = 2 (3,3) X = 1*3 Y = 2*2 (5,15) X = 1*3*5, Y = 2*2*4 Добавление следующих множителей в X или Y неизбежно ведет к нарушению X = Y + 1. Тока как это доказать..

Т.е. можно ли из чисел 2,1,2,3,4,5,6... и т.д. составить два произведения разница между которыми будет 1

не совсем, множители не 2*1*2*3*4*5..., а 2*1*3*2*2*5... то есть только простые и нужно доказать что их нельзя разбить на (Х) и (Х+1)

причем все двойки будут в одном из них

сам не знаю, но может это поможет: с одной стороны у нас 2*n!=m*(m+1) а с другой 8*n!=(z-1)*(z+1)

Одно выводится из другого т.е. воз поныне там.

короче, опытным путем выяснилось, что для n<=30 таких пар три: (1,1), (3,3) и (5,15) при n>=30 у ruby не хватает точности в операции sqrt

похоже таких пар больше нет.

Похожая задача Brocard's Problem n!=m^2-1 Вариант в частный случай более широкой постановки n!=P(m), где P(m) - полином от m

Есть много формул для факториала. 1) Гамма функция. 2) Формула Стирлинга и разложение в ряд. 3) Через произведение степеней простых чисел. Степени задаются суммой: sum([n/pi^j],j), j=1, 2, 3 ... , pi простое число i, [x] - целая часть x

+ Вот обсуждение Брокарда проблемы. Решение завязано на abc гипотезе Теперь осталось дело за малым - доказать эту гипотезу :)

сложно

это не совсем проблема Брокарда

Говрят, Luca Florian в 2002 доказал существования конечного числа пар для обощения проблемы Брокарда для полиномов P(m) со степенью не менее 2 с целыми коэффициентами - n!=P(m), но в предположении верности abc гипотезы. )-04.pdf" target="_blank" >http://web.math.hr/glasnik/37.2/37-04.pdf

+ Сорри. Ссылка вот )-04.pdf" target="_blank" >http://web.math.hr/glasnik/37.2/37-04.pdf

+ Странно, ссылка козявится :( ?

ссылка из вики, видел на прошлой неделе, но это не , а обобщение

Обобщение на уровне гипотезы :) Но в частный случай для полиномов. Или я что-то не улавливаю?

правильнее сказать, переливаешь из пустого в порожнее

В смысле? Поясни

Цель этих задач не в решении их. Цель размять мозги, ну и вспомнить еще раз математику.