Удивительные наибольшие нечетные делители #556986

Возьмем произвольное натуральное N>1. Для все натуральных чисел от N+1 до 2N включительно просуммируем их наибольшие нечетные делители. Всегда ли в сумме получается N^2 и почему? Пример: N=3. Для чисел 4, 5, 6 наибольшие нечетные делители есть 1, 5, 3 - их сумма 1+5+3=9=3^2

Навеяло: Возьмем число N... Нет, мало. Давайте N+1...

ага))) с военной кафедры

Можно попробовать разложить в числовой ряд функцию степени 2 и посмотреть, что там за числа..

теперь по-русски

Пусть ННД(х) - наибольший нечетный делитель. Тогда: (N+1)*(N+1)-N*N=ННД(2*N+2)+ННД(2*N+1)-ННД(N+1) Очевидно ННД(2*N+2)=ННД(N+1), тогда 2*N+1=ННД(2*N+1) Так как 2*N+1 - нечетное, то 2*N+1=ННД(2*N+1), что и требовалось доказать.

1. требовалось доказать кажется другое 2. почему (N+1)*(N+1)-N*N=ННД(2*N+2)+ННД(2*N+1)-ННД(N+1) ?

По индукции. Для N - верно, теперь берем формулу для N+1 и вычитаем из нее формулу для N. Получаем (N+1)*(N+1)-N*N=ННД(2*N+2)+ННД(2*N+1)-ННД(N+1), которое и доказываем.

какая то странная формула, непонятно совсем

Все верно, по индукции. База индукции: для N=2 верно. Допустим, что верно для N, т.е. ННД(N+1)+...+ННД(2N)=N^2 Напишем для N+1: ННД(N+2)+...+ННД(2N+2)=(N+1)^2. Из левой части вычтем левую, из правой - правую. Получим: ННД(2N+2)+ННД(2N+1)-ННД(N+1)=2N+1 ННД(2N+2)=ННД(2(N+1))=ННД(N+1). В сумме дают 0. Поэтому ННД(2N+1)=2N+1. 2N+1 - нчетное число, поэтому 2N+1=ННД(2N+1). Т.е. 2N+!=2N+1. ЧИТД.

бинго!

+ мое решение сложнее, потому долго тупил с пониманием