Зависит ли скалярное произведение векторов от их направления? #682485

Например, у нас есть 4 точки K, L, M, N  с координатами. Я хочу узнать, будут ли прямые, образованные отрезками KL и MN перпендикулярными

Блин, не закончил. Признак прямого угла в декартовых координатах -- скалярное произведение векторов равно нулю. Но вектор имеет направление, и при расчете произведения, всегда эти вектора сдвигают в общую вершину. А если сдвинуть в общую вершину их невозможно и они сходятся в одной точке, или один из векторов исходит из вершины второго, то будет ли скалярное произведение равным нулю?

Насколько помню, скалярное произведение всегда положительно и равно длине отрезка-проекции одного вектора на другой. Направление векторов имеет значение при их сложении. И, это... Википедию заблокировали уже, нет?

в вики это не освещено

наводящий вопрос: вектора как заданы?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. от этого зависят свойства скалярного произведения?

я хочу, чтобы автор сам до этого додумался

для начала ему придется понять, что такое вектор.

это 7й класс, если не ошибаюсь

15 лет назад... если не ошибаюсь

Привет! Есть в вики: Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.

спасибо, перечитал. Вспомнил Правильный ответ: без разницы, как они расположены

Да открой в википедии определение вектора. )

У вектора нет расположения, у него есть только длина и направление.

потому что вектор -- это сумма, которая от перемены мест слагаемых не меняется Соответственно, что произведение сумм было нулевым, надо, чтобы каждое слагаемое было нулем.

вектор задается в твоем случае разницей координат двух вершин.

на это я и намекал в

не сумма, а разница!

разница -- это тоже сумма :) а - б == а + -б

Зависит: (a,b)=-(a,-b). Но -0=0, поэтому для перпендикулярности направление неважно, что согласуется с жизненным опытом (и это здорово).

сместить начала в одну точку всегда можно. Можно рассматривать угол между прямыми, на которых лежат вектора. (главное, направление не забыть: определить какой угол острый или тупой)

От направления по прямым перпендикулярность не зависит. Для перпендикулярности векторов необходимо и достаточно перпендикулярности прямых.