Доказать, что уравнение p^2+q^2=r^2+s^2+t^2, в ПРОСТЫХ числах не разрешимо. #308269

Условие в заголовке.

отпусти меня, чудо-трава...

Да уж

Предположу, что доказательство "от противного".

(30 от очень противного :)

В связи с моим последним "бзиком" было принято решение о бане на месяц за откровенный флуд в этом разделе :)

чето я запутался. Простые числа это которые делятся только на 1 и сами себя?

Пока, очевидно, понятно, что если такое уравнение разрешимо, то обязательно среди чисел p,q,r,s,t будет присутствовать число 2. Иначе получится противоречие с четностью/нечетностью, ведь единственное четное простое число - это 2. Как-то теперь надо раскрутить...

Простое число Материал из Википедии — свободной энциклопедии Просто?е число? — это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Последовательность простых чисел начинается с    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел) Натуральное число, имеющее больше двух делителей, называется составным. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

ммм скажите непонятливому что значит p^2 к величайшему сожалению, не очень понимаю, что означает знак ^

Возведение в степень

Можно по формуле простого числа 6n+-1, которой удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3, показать, что среди оставшихся чисел должна быть тройка.

Проще говоря: не существует пять таких простых чисел (возможно одинаковых) Что сумма квадратов двух из них равна сумме квадратов трех оставшихся. Да, начало верное. Вообще, как правило, диофантовы уравнения решаются через делимость.

Опа, а я и не знал про такую ...

Можно немного иначе. Квадрат простого числа про модулю 2,3,4 равен единице (если это простое число не 2 и не 3)

Из возможных комбинаций 6n 6n+-1 6n+-2 6n+-3 6n+-4 6n+-5 все, кроме 6n+-1 и 6n+-5 делятся на 2 или 3. Но 6n+-1 и 6n+-5 - это одно и то же, только n разное. Много простых чисел идут парами, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и так далее. Есть гипотеза (насколько знаю, недоказанная) что число таких пар бесконечно.

. Ага, точно. Не сразу в глаза бросается, что это можно здесь применить. . Факт достаточно простой, ведь кроме 2 и 3 остальные числа (нечетные) должны представляться в виде 6k+-1, ведь 6k+-3 делятся на 3, а 6k+5=6(k+1)-1, 6k-5=6(k-1)+1

Или, что будет более полезно для данной задачи, квадрат простого числа минус единица кратен 12. Сейчас таким способом дошел до варианта p^2+q^2=13+t^2

Вроде доказанная. Могу поискать факт доказательства.

Ну вооот, так сразу и решение сказал.

Как всегда - мысль у людей течет в одинаковом направлении. Про ВСЕ остальные варианты доказал что они невозможны? Допустим по модулю три - правая и левая часть могут быть равны 0,1,2. У тебя вариант 2, нужно доказать что остальные невозможны.

Это еще не ршение. Даже Это еще не решение, но уже очень близко.

Как не решение? (p^2 + q^2) mod 2 = (p^2 mod 2 + q^2 mod 2) mod 2 = 0 (r^2 + s^2 + t^2) mod 2 = (r^2 mod 2 + s^2 mod 2 + t^2 mod 2) mod 2 = 1 Или я где то ошибаюсь?

(p^2+q^2) mod 2=0, это почему? 4+9 mod 2=1

ошибаешься. Никто же не запрещает использовать двойку в качестве простого числа.

. Ты тем самым доказал, что среди этих пяти чисел присутствует число 2. Это мы и так уже поняли)

+ Стоп, это только для случая, когда все 5 больше 3.

Да, да, облажался ;-)

Исходя из есть варианты: p^2+4=r^2+s^2+t^2 p^2+q^2=4+s^2+t^2 Исходя из есть варианты 13=r^2+s^2+t^2 (вариант а) p^2=5+s^2+t^2 (вариант б) (из первого) 5+q^2=s^2+t^2 (вариант в) p^2+q^2=13+t^2 (вариант г) (из второго) Кроме того, в упущен вариант, когда есть не тройка, а еще две двойки, то есть: 4=s^2+t^2 p^2=4+t^2 (из первого) 4=s^2+t^2 p^2+q^2=12 p^2=4+t^2 (из второго) но эти варианты устраняются простым подбором Вариант а устраняется опять же перебором - нет трех простых чисел, сумма квадратов которых равнялась бы 13 Вариант б при условии 12p+1=5+12s+1+12t+1, где старые t^2 равны новым 12t+1 и т.п. 12(p-s-t)=6 - то есть можем этот вариант отбросить Вариант в при том же условии 5+12q+1=12s+1+12t+1 4=12(s+t-q) - отбрасываем

я это писал так: Квадрат простого числа по модулю 3 и по модулю 4 может быть равен только единице, если эти числа не равны 3 либо 2 соотвественно. (В этом случае ноль) Пусть левая часть по модулю три равна 0 - такое невозможно. Пусть левая часть по модулю три равна двум - рассмотренный мной случай. Пусть левая часть по модулю три равна одному -> 9+x^2=18+t^2 x^2-9=t^2 (x-3)(x+3)=t^2 Но t - простое. Решений нет. t простое только при x=4, но при этом не простое x. Теперь случай когда по модулю три правая/левая части равны нулю. Сумма квадратов трех простых чисел не может быть равна 18-ти, так как по делимости на три - либо они все должны быть равны трем - но тогда их сумма 27. Либо они все должны быть не равны трем, но тогда они все меньше пяти (5^2=25>18), то есть все три равны двум. Но в этом случае их сумма будет равна 4*3=12, что тоже не равно 18-ти.

(p-r)(p+r)=(s-q)(s+q)+t^2 1) s=q (то есть любое число слева равно любому справа) (p-r)(p+r)=t^2 - это разложение противоречит тому, что t - простое (Здесь мы проверили, что двойка у нас может быть только одна) 2) s!=q (то есть с левой и с правой стороны нет совпадающих) а) среди p,r,s,q,t - нет двойки, тогда нечет=нечет+нечёт - невозможно б) p=2 4=(s-q)(s+q)+r*r+t*t r*r+t*t - кратно 4 (6k-1)*(6k-1)+(6m-1)*(6m-1)=36k^2-12k+1+36m^2-12m+1=36(k^2+m^2)-12(k+m)+2 не кратно 4, так как у нас 2 на 4 не делится в) t=2 - аналогично рассматриваем (-4) Вот и всё.

Это ничего не доказывает

Дима, а тебе сейчас интересны задачи по программированию?

Неа, думать больше не доставляет удовольствия.

Мне интересны задачи по распрограммированию

(33,34) Это старость. Рановато у тебя она наступила... :(

Математика - лженаука, люди придумывают несуществующие понятия и ими оперируют, если кто-то чего-то доказывает, то исключительно свою же собственную логику. Никакой связи с реальностью, чистые галлюцинации так называемого ума. Я это и до занятия программированием знал, просто какое-то время было интересно, а какое-то время нужны были деньги, а сейчас неинтересно и не очень нужны. Если это старость, то я лет с 16 стар.

Врешь ведь гад. Буквально несколько лет назад ты с удовольствием решал задачи по программироваию.

"просто какое-то время было интересно"

Неужели сейчас совсем неинетресно? У меня интерес постоянно пропадал, но всегда возвращался.

Нет, есть задачки в жизни в миллионы раз интересней, чем математическая глупость.

А я нашел свою нишу (см. раздел), и мне это интересно. А в жизни и так всё хорошо.

Порадовался бы за тебя, но увы за других не умею.

. В Википедии говорится, что эта задача пока не решенная.

p^2+q^2=r^2+s^2 - частное от Теоремы Ферма с тремя и более - тоже самое..

Вполне возможно. Эта задача решаема, и значительно проще чем доказательства теоремы ферма. После Остался один маленький шаг. Но, в связи с десятой проблемой Гильберта, и доказательством Матиясевича понятно - далеко не для любого Диафантова уравнения можно доказать его неразрешимость.

видимый размер луны = видимому размеру солнца - возможность затмений 365 дней года раскладываются в формулу p^2+q^2=r^2+s^2+t^2 причем p,q,r,s,t - последовательные числа и такая последовательность, удовлетворяющая уравнению на числовой оси всего одна. МОЖЕТ БЫТЬ ЭТО ВСЕ НЕСПРОСТА?

Угу. Это всемирный заговор :) Кстати, мне решение засчитали после вывода уранения , что делать дальше я тоже не знаю. Рассматривал по модулю 5 - но безрезультатно.

когда все переменные >2, то неразрешимо, т.к. в левой части четное число, в правой нечетное. осталось доказать, когда один из множителей равен 2...

(+48) ....ступил. переменные могут иметь одинаковые значения

Это следствие другой задачи. Сумма двух квадратов не может равняться сумме трех квадратов, если эти числа либо 2, либо нечетные. Рассмотрим по модулю 8. Квадрат 2 равен 4, а квадрат нечетного числа равен 1. осталось перебрать все возможные варианты слева 1+1=2 1+4=5 4+4=0 справа 1+1+1=3 1+1+4=6 1+4+4=1 4+4+4=4 Равенство невозможно никогда.

Но это доказательство выглядит фокусом, поскольку словершенно не понятно почему надо брать в качестве модуля 8. Можно доказывать по другому, пытаясь разложить выражение на множители. При этом нужно учитывать, что (x-y)(x+y), где x, y нечетны, делится на 8. Действительно, пусть x=2k+1 и y = 2l+1. x+y=2(k+l+1) x-y=2(k-l) так так k+l и k-l имеют одинаковую четность, то одно из чисел k+l+1, k-l обязательно четное. Остальные числа - двойки их квадрат не делится на 8.

Круто...