Решение уравнения в простых числах #698334

Решить уравнение: x^2+y^2+z^2+10^u-1=v^2 где x,y,z,u,v - простые числа Задача предлагалась для школьников средних классов

справа нечетное, значит слева то же должно быть нечетное. Слева нечетное возможно только если x или y или z =2 Так как уравнение для них симметрично, то пусть x=2 3+y^2+z^2+10^u=v^2 дальше пока мыслей нет

>>справа нечетное почему не 2?

если u>2, то не проходим по делимости на 8. 10^u при этом кратно 8. квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1: (2n+1)^2 = 4n(n+1)+1. остаток от деления на 8 левой части равен 5, правой - 1. т.е. u=2 103 + y^2 + z^2 = v^2

10^u >= 100...

точно ))

с чего ты решил, что справа нечетное? а если v=2

все понял

а это простые числа между собой могут быть равны? то есть например x=y=2?

почему нет?

1 млн за ТЗ и 3 млн за реализацию

ну это я как бы сразу отмел, т.к. справа 4, а слева как минимум 4 раза по 4. Мне казалось это очевидным чтобы вдаваться

>>>если u>2, то ....10^u при этом кратно 8 Я сломал мозг, можно вернуть пять страниц выкладок?

а...сорри, я что то в упор не видел,ч то там 10^u, видел почему то 10*u

u больше равно 3, значит 10^u делится по крайней мере на 1000...

нашел одно решение x = 2, u = 2 (это уже доказали),y = 3, z = 3, v = 11

тогда получаем, что правая часть, либо четная, тогда V=2 и в этом случае решений не имеем, либо нечетная. в этом случае x^2+y^2+z^2+10^u-1 тоже нечетная, тогда x^2+y^2+z^2+10^u - четная, x^2+y^2+z^2 - четная. для обеспечения этого условия либо один элемент должен быть четный, либо все три. если все три четные, в таком случае x=y=z=2 и получаем 11+10^u=v^2 - на сколько понимаю - в простых числах это решения не имеет. тогда получаем, что один из эллементов равен 2, пусть это будет x. в этом случае получаем 3+y^2+z^2+10^u=v^2, где y,z,v > 2. и решаем уже этот вариант

см

хм...  ка-то у меня мыслей было больше и подумал, что не совпадет. а тут такой косяк.

+ и это все, так как y и z должны делиться на 3. остаток квадрата от деления на 3 либо 0, либо 1. дальше несложно.

опять куда то делись 5 страниц выкладок. С чего они должны делится на 3, почему остаток от деления квадрата на 3 не равен 2?

(3n плюс или минус 1)^2 = 9n^2 плюс или минус 6n + 1 остаток левой части от деления на 3 равен 1, 2 или 0. 1, только если y^2 и z^2 кратны 3

А, дошло. Остался еще один нехороший случай x=y=z=2 доказать, что 11+10^u=v^2 не решается в простых числах

Если не рассматривать случай когда u=0, то справа всегда нечетное число потому что 10^1=10 а простых чисел больше 2 нет степень 10-ки не меняет четности выражения значит x^2+y^2+z^2 нечетное причем сами по себе они четные только, если равны 2 Сумма трех нечетных = нечетное (квадрат четности не меняет) значит как минимум одно из них равно 2 Например z=2 и это всегда для u>0 если я не поздно пишу и не торможу

или доказать, что 11+10^u не является квадратом натурального числа и простого в частности

прав. но доказывается: u = 2 просто не подходит, при u >= 3 не проходим по делимости на 8 (слева остаток 3, справа 1)