Окружности падают в параболу #735106

Дана парабола y=x^2. Рассмотрим окружность с центром (0,y) и фиксированным радиусом R. При этом y>0 настолько велико, что окружность не пересекается с параболой. Будем уменьшать y (окружность "падает") до тех пор, пока окружность не соприкоснется с параболой. Если окружность соприкоснется с параболой в точке отличной от (0,0), то будем говорить, что окружность "застряла". Может ли существовать такой радиус R, что окружность не застрянет, а "упадет на дно" параболы?

такого не может быть парабола бесконечна, так как x не может быть конечным -->в любом случае будут пересечения параболы и окружности

то есть любая окружность "застрянет" не добравшись до вершины параболы?

Да. Любая окружность "застрянет".

А ты возьми такой радиус окружности, чтобы окружность былав в "чаше" параболы и подними ее повыше по вертикали. Для примера: возьми окружность радиуса 1 с центром в (0, 10).

мне кажется, это неправда

Тут нужно скакать от определения окружности, и параболы. Может есть связь между радиусом окружности и расстоянием от директриссы параболы до прямой, что из определения параболы...

Оно? Осторожно , УкроСМИ.

Уравнение окружности y = r -  (r^2 - x^2)^0.5 Уравнение параболы y = x^2 Допустим, что окружность не "застряла" при некотором r. Тогда r -  (r^2 - x^2)^0.5 >= x^2 r - x^2 >= (r^2 - x^2)^0.5 r^2 - 2*x^2 + x^4 >= r^2 - x^2 x^4 - x^2 >=0 x^2(x^2 - 1) >=0 Последнее неверно при x = min(0.5, r/2)

не оно. Парабола y = x^2. При x = 1, y = 1

Вполне наглядно видно, что упадет. На конусе хорошо видно, что в точке касания ветви параболы "шире" чем окружность.

Хорошая задачка. Имхается мне, что нет.

Хотя в задаче не совсем понятно, свободны радиус и R или нет. Мне не понятно. Буду наблюдать дальше.

А чем не решение?

можно еще через производную посчитать. У окружности будет меньше в окресности 0, поэтому не может упасть на дно

*14) так там не на чем оканчивается

внимательно читаем - радиус R фиксирован, его нужно найти (если есть конечно)

В показано, что окружность с центром (0,r) и радиусом r пересекается с параболой y=x^2 еще в 2 точках, отличных от (0,0)

мне непонятен вывод и почему оно должно быть верно для любых х?

уже посчитали, что не застрянет при R <= 0,5 ?

бинго

ну и? Парабола y = x^2. При x = 1, y = 1.... А при х=0, у=0. Почему не оно?

на картинке у параболы при x = 1, y = 0.5

Исправление Уравнение окружности y = r -  (r^2 - x^2)^0.5 Уравнение параболы y = x^2 Допустим, что окружность не "застряла" при некотором r. Тогда r -  (r^2 - x^2)^0.5 >= x^2 r - x^2 >= (r^2 - x^2)^0.5 r^2 - 2*x^2*r^2 + x^4 >= r^2 - x^2 x^4 + x^2 - 2*x^2*r^2>=0 x^2(x^2 + 1 - 2*x^2*r^2) >=0 x^2(x^2 + 1 - 2*x^2*r^2) >=0 Если r <= 1/2^0.25, то последнее неравенство будет выполняться Поэтому окружность "упадет" при r <= 1/2^0.25

ну так то да, картинка не по условию. Я имел ввиду решение задачи при таком положении окружности, с пересечением с параболой в точке (0,0)

ну вот теперь "почти" верно, радиус какой-то подозрительный у тебя получился правильный ответ в

Ошибка в преобразованиях. Окончательное неравенство: 2R-1<=x^2. Откуда R<=0.5.

y = x^2 y = R - sqrt(R^2 -x^2) решая, получаем 3 точки с ординатами: 0, sqrt(2R-1) и -sqrt(2R-1); при R <= 0,5 остается только 1 точка (0;0)

с абсциссами конечно

По другому: кривизна параболы в 0 = 2, радиус кривизны = 1/2. Окружность падает до дна, если ее радиус меньше радиуса кривизны параболы. Интересно, это так в случае произвольной (выпуклой) кривой?

+ Надо думать - нет.

Парабола и окружность - частный случай эллипса. Мне кажется что окружность перестанет застревать если ее фокус достигнет фокуса параболы. В данном случае фокус окружности - это ее центр.