Многогранник из шестиугольников #736526

Существует ли многогранник, все грани которого являются шестиугольниками?

Пусть n граней, тогда сумма всех углов 720n градусов, число всех вершин больше 2n, число всех углов больше 6n, поскольку к каждой вершине примыкает по меньшей мере 3 угла. Но на самом деле число всех углов равно 6n. Противоречие.

неправда, в кубе например n=6, но число вершин меньше 8<2*n=12

конечно. Плоскость в пространстве Римана, разделенная на такие шестиугольные секции, будет многогранником по факту.

не надо Римана, давай Евклида

на Евклиде будет просто плоскость. Как бы не совсем многогранник

Фигассе ... Может сначала дадим тогда определение тому, что такое многоугольная грань ? о_О Может потом и не надо будет отвечать на вопрос в теме ...

а что не так? у многогранника есть грани, ребра и вершины. Грани являются многоугольниками.

ты не знаешь, что такое многогранник, умник?

Девочки, не ссорьтесь! :)

Похеру, что такое многоугольник ... Я еще не знаю, что такое шестиуголная грань , вот это пробел в образовании. Ты не на тот мой недостаток внимание обращаешь :D

, кстати я не прав. В четырехмерном Евклидовом может получиться.

боюсь, что нет, но задача не об этом

Мдя ... почетал. В геометрии это плоская поверхность прелмета о_О Всю жисть думал, что это стык между сторонами :DD Прастите

если шестиугольники равносторонние - не бывает. посмотрите на футбольный мяч например.

если неравносторонние, то мозаику не соберешь

кстати, если мыслить широко, то треугольник можно считать неправильным шестиугольником, у которого три угла по 120 градусов. тогда можно.

Считаем, что теорема Эйлера для него выполняется?

по 180 конечно

а как её тут применить?

посмотрел

там пятиугольники вставляют, замечал?

>Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

в условии нет слова "правильные", а это две большие разницы

Глазастый )

"Правильные" в данном случае - содержащие только шестиугольные грани. А не равносторонние шестиугольные грани. И пофигу, какие стороны у граней. угол развертки для шестисторонней грани все одно больше 360 градусов. Многоугольник не замкнется.

голословно, там могут вполне остренькие угла, да и про выпуклость фигуры никто не говорил

Так все-таки, можно ли его считать топологически эквивалентным сфере ?

Что голословно ? Что в эвклидовом пространстве максимально возможный угол 360 градусов ?

что любое решение, основанное на развертке, в принципе не катит для условия, где не указана выпуклость фигуры

надо вначале найти "его", потом уже думать, считать или не считать

Вы просто не представляете (в буквальном смысле) о чем рассуждаете. Какую бы дулю вы не пытались свернуть из шестиуголных лоскутков, шестая грань будет находится за пределами эвклидова пространства. Пофигу, вогнутый или выпуклый многоугольник. Закрывайте тему :D схоласты.

вопрос с 3-х мерным Евклидовым пространством считаю закрытым. Но за пределами этого частного случая должно получиться.

В общем, по теореме Эйлера В-Р+Г=2.(условие1) В-вершины,Р-ребра,Г-грани. По условию у нас Р = 6Г/2=3Г (так как каждое ребро принадлежит 2м граням). Кроме того в каждой вершине сходятся минимум 3 ребра, значит В<=2Р/3 (условие2)(для куба, например, выполняется точное равенство) получается по условию1  В=2Г+2 а по условию2 В<=2Г. противоречие

>за пределами этого частного случая Это про нашу мерность ?? Оптимисты ))

вполне

в общем так

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве. За пределами трехмерного евклидового пространства это будет уже не многогранник

не будь таким скучным.

твое доказательство даёт почву для размышлений. Если взять такой многогранник, в котором хотя бы некоторые ребра принадлежат трем граням, твои выкладки неверны.

"в котором хотя бы некоторые ребра принадлежат трем граням" это как?

ну как - вот так. Например два куба, склеенные в одном ребре - одно ребро принадлежит четырем граням.

поэтому я спрашивал

Пример топологически не эквивалентного сфере многогранника вполне можно построить. У тетраэдра сделать срезки в районе вершин и потом по образовавшимся в сечениях треугольниках сделать склейку с аналогичными срезанными тетраэдрами. Всего таких склеенных тетраэдров будет приличное количество. Но требуемый многогранник в итоге должен получиться.