Математика. Точечный кузнечик #457187

На числовой прямой в точке P сидит точечный кузнечик. Точки 0 и 1 – ловушки. На каждом ходу мы называем любое положительное число, после чего кузнечик прыгает влево или вправо (по своему выбору) на расстояние, равное этому числу. Для каких P можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)

видимо, для 0,5

согласен, но как частный случай

+ есть еще точки

При P = 0,5^n или P = 1 - 0,5^n

хорошо, но все равно не всё

Вообще то для любых P которые рациональные дроби. Хотя если можно называть любые положительные действительные числа (вопрос только как их называть) то тогда P любое. А стратегия как при рулетке красное-черное, зеро то тут нету, вероятность 100% выигрыша

расскажи как для P=1/3 сделать.

называешь разницу от тек. положения до 0 или 1 - рано или поздно он туда попадет

Дык а в какую точку загонять будем? в 0 или в 1? Допустим в 0, тогда называем 1/3, прыгает или в ноль или в 2/3. Если прыгнул в 2/3 то называем 2/3, прыгнет или в ноль или в 4/3=1+1/3, ну и т.д. Насчет вероятностей прыжка влево или вправо так как нифига не сказано то пусть 50 на 50, итого в среднем надо два прыжка чтобы загнать в нужную точку.

по твоему алгоритму для 1/3, называем 1/3 он перескакивает на 2/3 и т.д. пока не сдохнет, как только назовем 2/3 он выскочит из отрезка [0,1] и убежит

+1

Етить а где сказано что низзя за пределы отрезка выскакивать?

Если проёб кузнечиком исключён, то кроме вряд ли что-то еще есть.

загонять будем в любую, насчет вероятности - скажем так: задача не вероятностная, то есть при любом раскладе (можно считать, что кузнечик разумный и просчитывает)

можно, но он тогда гарантировано убежит есть

тогда в условие надо добавить что-то типа "за конечное число шагов"

добавьте, в оригинале этого не было, просто не понимаю как поймать в ловушку за бесконечное, но пусть будет за конечное

Если кузнечик сидит в 0,25 то мы можем сказать: 1) 0,25 2) 0,5 Т. е. если предпоследним прыжком будет в 0,5 то мы гарантированно сможем его посадить в ловушку. Плюс эти точки должны находиться в интервале (0;1) Тогда можно взять такие точки: 0,5^n, где n=1;2;3... Соответственно если ему задать первый прыжок 0,5^n, тогда он прыгнет или в 0 или в точку 0,5^(n-1). Дальше по индукции. В результате получили ряд таких точек для полуоткрытого интервала (0;0,5]. Для интервала (0,5;1) ряд можно построить аналогично.

ну тады можно попробовать всегда называть расстояние к ближайшей точке (0 или 1), но тогда задача не имеет решения если кузнечик разумный, бесконечно будем прыгать. Исключая варианты 0, 0.5 и 1

конечный ответ какой?

не прокатит оно бесконечно будет внутри прыгать сказали же что кузнечник круче чем 1С считает

для 1/4 тоже исключение?

у меня три вопроса 1) почему он точечный? 2) зачем ему прыгать по числовой прямой? 3) что курил автор задачи?

ну тогда да 0.5 * n, n=1,2,3,... 1-0.5 * n, n=1,2,3,... 0.5-0.5 * n, n=1,2,3,... 0.5+0.5 * n, n=1,2,3,... и т.д. как это бы объединить?

написано неверно например 0.5 * n, n=3 точно не ответ

в основной смысл - точки деления отрезка (0,1) и его частей на 2

да вижу уже, это меня посты выше сбили

угу еще бы это как то в виде формулы оформить

Вообще задача с хитринкой.. Можно взять 0,25 и интервалы (0;0,5). Назначить ловушки в точках 0 и 0,5. И аналогично построить последовательности стремящиеся к 0 или 0,5. Если к 0 то мы получаем решение как в в . Если стремиться к 0,5 то мы получаем еще один ряд, скажем а(0,5;i). Тогда получается, что таких рядов можно построить бесконечно много. Пример a(a(0,5;i);j) Т. е. если или в Мы получили два сходящихся ряда, то для каждого элемента этих последовательностей можно построить на интервалах сходящуюся последовательность.

+ И т. д.

точно, общее решение p/(2^k) где p,k - натуральные и p < 2^k

+ то есть 3/16 например тоже подходит

Круть!

И где финансовая составляющая?!

А где из условия следует, что Р находится между 0 и 1? Или это очевидно?

Методом итераций - 0.5 в неё 0.25, 0.75 В итоге из любой точки K/(2^N) K,N целые >=0 лежащей в интервале [0,1] В точках 0 и 1 считаем кузнеца изначально пойманным. Из элементарной логики. Кузнец может просто побежать от них, если он не в интервале.

Я не успел? :(

пусть Р начальное положение кузнечика тогда шаг должен быть таким что бы Р=nh n-любое натуральное h- шаг или аналогично 1-Р=nh

Тут есть еще несколько интересных задачек от него

Эту я видел, и решение видел. Эта задача явно не форумная.

когда писал еще не знал, там кстати немного другое написано (7 а не 6 начальное), но разбиратьс надо

Надо перевод сделать. А времени нет совсем. Хотя должна решаться школьными методами.

+ да нет тоже самое, там условие несколько сдвинуто: a(n) = a(n ? 1) + gcd(n, a(n ? 1)) поэтому начальное a=7

всего не читал, но... а если называть каждый раз модуль той точки, где сидит кузнечик и заставлять его прыгать в ноль? о_О или я задание не вкурил?

По условию задачи мы можем приказать прыгнуть кузнечику на любое расстояние. Но направление выбирает он. Мы по условию задачи не имеем право задавать ему направление. Только расстояние.

Итого получаем формулу p/(2^k) где p,k - натуральные и p < 2^k Остаётся доказать, что если точка не писывается в эту формулу, то кузнечик убегает.

доказательство например по индукции (число ходов), для попадания за N=1 это единственная точка 1/2. Пусть для поадания за N ходов кузнечика это точки p/(2^N) где p,N - натуральные и p < 2^N. Тогда для (N+1) он должен обязательно попасть за первый свой ход во множество для N ходов (преположение индукции). Для каждого такого интервала это середина (плюс интервал от (2^N-1)/(2^N) до 1), значит это точки p/(2^(N+1)).